РЕШУ ЦТ — математика

Варианты заданий

1.  Задание № 1962 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: III

Классификатор алгебры: 5\.5\. Уравнения рациональные относительно логарифмических функций

Уравнения смешанного типа, разные вопросы об уравнениях

Значение выражение $6 минус 6 умножить на логарифм по основанию 5 x_0,$ где x₀  — корень (наибольший корень, если их несколько) уравнения

$дробь: числитель: 3 плюс логарифм по основанию 5 x, знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 5 x конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 1 минус логарифм по основанию 5 в квадрате x конец дроби минус 2=0,$

равно?

Решение. Обозначим временно $логарифм по основанию 5 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 1 минус t в квадрате конец дроби минус 2=0 равносильно дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби минус 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка минус 8 минус 2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 плюс 4t плюс t в квадрате минус 8 минус 2 плюс 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате плюс 4t минус 7, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0.$ $дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 1 минус t в квадрате конец дроби минус 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби минус 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка минус 8 минус 2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 плюс 4t плюс t в квадрате минус 8 минус 2 плюс 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате плюс 4t минус 7, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0.$ $дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 1 минус t в квадрате конец дроби минус 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 плюс t, знаменатель: 1 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби минус 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка минус 8 минус 2 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 плюс 4t плюс t в квадрате минус 8 минус 2 плюс 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3t в квадрате плюс 4t минус 7, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0.$

Значит, это уравнение имеет единственный корень $t= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ,$ где корень $t=1$ посторонний, поскольку обнуляет знаменатель. Тогда

$6 минус 6 логарифм по основанию 5 x_0=6 минус 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =6 плюс 14=20.$ $6 минус 6 логарифм по основанию 5 x_0=6 минус 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=6 плюс 14=20.$

Ответ: 20.

Ответ: 20

1962

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: III

Классификатор алгебры: 5\.5\. Уравнения рациональные относительно логарифмических функций

Методы алгебры: Замена переменной

2.  Задание № 2026 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: III

Уравнения смешанного типа, разные вопросы об уравнениях

Значение выражение $1 минус 3 умножить на десятичный логарифм x_0,$ где x₀  — корень (наибольший корень, если их несколько) уравнения

$дробь: числитель: 5 минус десятичный логарифм x, знаменатель: 4 минус десятичный логарифм x конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 16 минус \lg в квадрате x конец дроби плюс 2=0,$

равно ...

Решение. Обозначим временно $десятичный логарифм x=t,$ тогда

$дробь: числитель: 5 минус t, знаменатель: 4 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 16 минус t в квадрате конец дроби плюс 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка минус 8 плюс 2 левая круглая скобка 16 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 20 минус 4t плюс 5t минус t в квадрате минус 8 плюс 32 минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3t в квадрате плюс t плюс 44, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: минус левая круглая скобка 3t плюс 11 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0.$ $дробь: числитель: 5 минус t, знаменатель: 4 минус t конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 16 минус t в квадрате конец дроби плюс 2=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 5 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка минус 8 плюс 2 левая круглая скобка 16 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 20 минус 4t плюс 5t минус t в квадрате минус 8 плюс 32 минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3t в квадрате плюс t плюс 44, знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус левая круглая скобка 3t плюс 11 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка конец дроби =0.$

Значит, это уравнение имеет единственный корень $t= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби ,$ так как корень $t=4$ посторонний, поскольку обнуляет знаменатель. Тогда

$1 минус 3 десятичный логарифм x_0=1 минус 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =1 плюс 11=12.$ $1 минус 3 десятичный логарифм x_0=1 минус 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$=1 плюс 11=12.$

Ответ: 12.

Ответ: 12

2026

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2022

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1962	20
2	2026	12